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# 前期ウィトゲンシュタイン「論理哲学論考」#4 論理空間における真理操作 以下、W=ウィトゲンシュタイン
論理記号は現代で一般的なものに置き換えている($\wedge := ., \neg := \sim, \to :=\supset, \leftrightarrow:=\equiv, \forall x:=(x)$ ) ここまでの議論を要約すると、まず、我々は存在論的世界から像である命題を構成する。 そして、この命題を要素命題に分析した後、名の論理形式を解明することにより、要素命題から名が分解される。 さらにその分解された名で論理形式に従って有意味な命題である要素命題を再構成することが可能になる。 次に、その再構成された要素命題によって論理空間が展開される。 この論理空間は今では真理表と呼ばれるものであり、これによって論理定項の役割である真理の操作を見ることが可能になる。 ## 論理定項の意味の否定 論理空間に移る前に、Wの論理定項が指示対象を持つかという問題に対する否定的なスタンスをみておく。 論理定項とは、一般的に論理学で用いられる定項のことであるが、ここで扱うのは基本的な($\neg, \wedge, \vee, \to$)の4つである。

否定	$\neg P$	not $P$
連言	$P\wedge Q$	$P$ and $Q$
選言	$P\vee Q$	$P$ or $Q$
条件	$P\to Q$	if $P$, then $Q$

例えば、「$\neg$」は否定を表す論理定項で、これを命題の頭に付けることでその命題を否定する。 「ミケは魚を食べる」という命題にこれを付けることで(「$\neg$ (ミケは魚を食べた)」)、それは「ミケは魚を食べなかった」と全体を否定する命題になる。 では、**この論理定項自体は指示対象をもつのだろうか**。 フレーゲやラッセルはイエスと答える。 例えば、($P\wedge Q$)という複合命題がもつ論理定項「$\wedge$」はそれ自体で意味をもつ。 しかし、それだと、($P\wedge Q$)は$P$と$Q$から独立した真理値をもつことになり、なぜ、($P\wedge Q$)という真理関数に真偽を当てはめたとき、(TTTF)という真理条件が出力されるのか説明されない。 Wはここにおいても反対の立場をとり、論理定項は独立した価値を持たないと考える(「論理的対象は存在しない」(4.441))。 なぜなら、 もし、論理定項「$\neg$ 」が名であるならば、二重否定「$\neg\neg P$」が、「$P$」と同一の意味をもつということに対して説明できない。 加えて、命題は一種の像であり、そして、命題は否定「$\neg$ 」を加えることによって簡単に否定しえる。 これはつまり、像は否定し得るということを意味するが、例えば、他の事実を表す像である絵画はどのように否定しえるだろうか。 「ミケは魚を食べる」という事実を表す絵画を墨で塗りつぶしたり、ナイフで切り裂いたとしてもその絵が表す内容を否定することはできない(「ミケは魚を食べなかった」を表すことはできない)。 これらはつまり、論理定項は指示対象をもたず、そして、これは**真理を操作するもの(関数)である**ということを示唆している。

「論理定項」はなんらかの対象の代わりをするものではない。 事実の論理は記号で表しえない。 これが私の根本思想である。 (4.0312)

## 論理空間 論理形式によって分解された名から事態に対応する要素命題が論理形式に従って構成されることによって、我々は超越論的に可能な事態の総体を作り上げる。 これを論理空間とよぶ。 例えば、$P$と$Q$という要素命題を得たならば、それぞれの要素命題が成立し真(T)であるときと偽(F)であるときがある。 そして、それぞれの要素命題の真偽の組み合わせて可能な事態を構成する。 また、要素命題が複数になることにより、可能な事態は増える(nを要素命題の数とすると、可能な事態は2^n個ある)。 $P$と$Q$の二つの要素命題の場合、それらの事態の組み合わせは四組(＝2^2)である： (論理空間)

要素命題	$P$	$Q$
真理可能性1	T	T
真理可能性2	F	T
真理可能性3	T	F
真理可能性4	F	F

また、要素命題は有意味で肯定的な事態しか表さないため、この時点では否定は存在しない(理解不可能で無意味な要素命題は、論理形式から逸脱している)。 そのため、Tが事態が成立していることを表しても、Fは事態が成立して”いない”ことを表しているわけではない。 Fは、野矢氏[12, p.94]の解説によると、いかなる事態も属していない状態を表すと言う。 この四つが要素命題がもつ可能な事態の全てであり、論理の基底である。 これを基に真理操作が可能となる。 ### 用語紹介 先に$P\wedge Q$の真理表と共に用語をまとめてみておく：

	$P$	$Q$	← 要素命題			$P\vee Q$	← $\vee$は真理関数
真理可能性1	T	T	← 論理空間		真理条件1	T	← 真理根拠1	真理領域
真理可能性2	F	T			真理条件2	T	← 真理根拠2
真理可能性3	T	F			真理条件3	T	← 真理根拠3
真理可能性4	F	F			真理条件4	F

$P\wedge Q$の真理条件を横書きで記すと(TTTF)となり、左から真理条件１２３４に対応する。 ### １. 論理定項の真理領域の操作 論理空間の意味が明らかになったならば論理定項の役割もまた明確となる。 それは、真理(TとF)の関数的な操作である。 これは論理プラトニズムを唱えるフレーゲに反対する観点であり、論理にアプリオリ性を主張するものである。 それは、$(P\wedge Q)$が(TTTF)という真理条件を表示するのではなく、例えば、論理定項「$\wedge $」は$P$と$Q$という二つの要素命題における真理領域をアプリオリに操作し、新たに(TTTF)という真理条件を生み出すのである。 そして、この真理条件が($P\wedge Q$)という複合命題を表すのだと言う。 具体的に、基本的な4つの論理定項がどのような真理操作を行うか見てみる。 ##### 論理定項「$\neg$ 」の役割 それぞれの要素命題は、それぞれが真となる領域(真理領域)を持つ、例えば、要素命題$P$の場合、$P$は、可能な事態を二つ持つため、(TF)という真理可能性群を持つ。 同時に(TF)は$P$の真理条件群である。 そして、この諸真理条件群を反転させるのが、論理定項「$\neg$ 」である。 下の表を見れば真理条件群が反転しているのが分かる。

	$P$	$\neg P$
真理可能性1	T	F
真理可能性2	F	T

Wの表記法によると、(FT)($P$)と表記されこれが$\neg P$を意味する。 また、二重否定($\neg\neg P$)は真理領域の操作を二度行うので(TF)($P$)となり、$P$と等しくなることが分かる。 ##### 論理定項「$\vee,\wedge,\to$ 」の役割(\*1) 下の表は、「$\vee,\wedge,\to$ を網羅的に定義したものである。 最終的に(TTTF)という真理条件群を形成している。 これはWの記号法で記すと、(TTTF)($P, Q$)となる。

	$P$	$Q$	$P\vee Q$	$P\wedge Q$	$P\to Q$
真理可能性(1)	T	T	T	T	T
真理可能性(2)	F	T	T	F	T
真理可能性(3)	T	F	T	F	F
真理可能性(4)	F	F	F	F	T

この論理定項の真理条件の表は、今では`真理値表(truth table)`と呼ばれ論理学の授業(古典命題論理の意味論)ではじめに習うもので、それはこの『論考』における哲学的な考察が基礎の一つになっている。 ### ２. 真理関数 要素命題を得ることによって、それらがもつ事態の総体である論理空間が展開されることを見た。 そして、Wは論理定項によって要素命題がもつ論理空間の真理領域を操作し、その操作された真理領域によって真理関数(複合命題)が説明されることもまた見た。 例えば、フレーゲは、($p\vee q$)が(TTTF)を意味すると考えるが、Wは「$\vee$」が$p$と$q$の真理領域を操作し、(TTTF)を出力するとする。 そして、これが($p\vee q$)を意味するのである。 そのため、複合命題とは論理空間のひとつの表れである。 そして、限られた要素命題における真理領域の操作は無限に行えるのではなく限られている。

すべての真理関数は、要素命題に対して真理操作を有限回くり返し適用することによって得られる。 (5.32) $n$個の要素命題に対して、可能な真理条件は$Ln[=2^{2^n}]$組ある。 (4.45)

例えば、$p$と$q$という二つの要素命題に対しては16組の真理条件群がある(要素命題が三つあれば64組、四つあれば256組の真理条件群があることになる)。 $p$と$q$という二つの要素命題がもつ真理条件群の一覧表は5.101に書かれている。 ||　　　Wの記法　　　|　　論理式の例|||　　　Wの記法　　　|　　論理式の例| |--|--| |(1)|(TTTT)($p, q$)|$　　　(p\to p)\vee (q\to q)$||(9)|(TFFT)($p, q$)|$　　　p\leftrightarrow q$| |(2)|(FTTT)($p, q$)|$　　　\neg (p\wedge q)$||(10)|(TFTF)($p, q$)|$　　　p$| |(3)|(TFTT)($p, q$)|$　　　q\to p$||(11)|(TTFF)($p, q$)|$　　　q$| |(4)|(TTFT)($p, q$)|$　　　p\to q$||(12)|(FFFT)($p, q$)|$　　　\neg p\wedge \neg q$| |(5)|(TTTF)($p, q$)|$　　　p\vee q$||(13)|(FFTF)($p, q$)|$　　　p\wedge \neg q$| |(6)|(FFTT)($p, q$)|$　　　\neg p$||(14)|(FTFF)($p, q$)|$　　　q\wedge \neg p$| |(7)|(FTFT)($p, q$)|$　　　\neg q$||(15)|(TFFF)($p, q$)|$　　　q\wedge p$| |(8)|(FTTF)($p, q$)|$　(p\wedge \neg q)\vee (q\wedge \neg p)$||(16)|(FFFF)($p, q$)|$　(p\wedge \neg p)\wedge (q\wedge \neg q)$| この表が$p$と$q$から構成することができる有意味な命題のすべてである。 (古典命題論理の)二つの要素命題からなる命題はすべてこのいずれかと同一の真理条件をもちそれに還元することができる。 例えば、 $((p\to \neg q)∨(p\leftrightarrow q))\wedge (p\wedge \neg q)$ などの複合命題であっても、この命題における真理条件群は(FFTF)($p, q$)であるため、同じ真理条件群を持つ(13)の$(p\wedge \neg q)$と同値の命題といえる(名それ自体が意味をもつと考えるラッセルとフレーゲはこれら二つを異なる命題と考える)。

一つの事実$p$からそれとは別の、、事実、例えば、$\neg \neg p$、$\neg \neg \neg \neg p$、 等々が無限に帰結しなければならないなどということは、直感的にいって、まず信じられないことである。 そしてまた、無限個の論理学(数学)の命題が半ダースほどの「基本法則」から帰結するというのも、これに劣らず奇妙な話でしかない。 (5.43)(傍点翻訳)

#### トートロジーと矛盾 上の二つの要素命題における可能な真理条件群の一覧表で両端((1)と(16))に極端な真理条件をもつ命題があるのがわかる。 それは、すべての真理条件がTで構成されている命題と、全ての真理条件がFで構成されている命題である。 一方はトートロジー、もう一方は矛盾とよぶ。 これらは、「無内容」な命題である。 しかし、ここでいわれる「無内容」な命題とは、前に見たような、論理形式を逸脱した「無意味」な命題とは異なり、双方とも要素命題の真理関数である。 そして、トートロジーは全ての真理条件群が真理根拠であるため、いかなる場合でも真となる命題である。 それゆえいかなる情報も発信しないという意味で無内容である。 もう一方の矛盾はトートロジーの否定であるが、こちらは、いかなる場合でも偽となる命題で、またこちらもまた無内容命題である。 しかし、古典論理では矛盾からあらゆる命題が帰結するという原理をもつ(爆発原理, ex falso quodlibet, the principle of explosion)。 だが、前回見た推論の規則を考慮すると、Wはこの原理を擁護していないというのが分かる。 つまり、推論の規則とは、$p\to q$という命題において、$q$の真理領域に$p$のすべての真理根拠が含まれている場合、正しい推論であるというものであった。 例えば、(TFFF)($p, q$)から(TTTF)($p, q$)を推論するのは、後者が前者の真理根拠を含んでいるため全く正しい。 しかし、矛盾の場合を考えてみると、矛盾は(FFFF)($p, q$)という真理根拠を含まない命題であるため、導く命題に含まなければならない真理根拠を持ち合わせていない。 例えば、矛盾(FFFF)($p, q$)から(TFFF)($p, q$)という命題を導いた場合、後者のどこに前者の真理根拠があるだろうか。 あるはずがない。 そのため、Wは先の爆発原理を容認せず、矛盾はいかなる命題も導けない無内容な命題という立場をとる。

矛盾はいわば全命題の外側に消え去り、トートロジーは全命題の内側に消え去る。
矛盾は諸命題の外側の限界であり、トートロジーはその空虚な中心点である。 (5.143)

この二つの極端な命題を無内容とすることで、それ以外の「有内容」な命題とは、論理空間において真偽の境界線上に位置する命題郡であることが明確になる。 ### ３. 量化における困難 先にみた論理に関する主張はすべて命題論理において妥当であるが、フレーゲが創設した述語論理(\*2)においてはどうだろうか。 述語論理は量化子($\forall$、$\exists$)を体系的に組み込む論理体系で現在ではあらゆる分野で基礎をなし標準となっている。 しかし、この量化によって命題の領域は無限に展開される。 この領域を、先のWの理論で取り扱うことができるのだろうか。 要素命題が無限にあると想定すると、論理空間が無限に展開されることになる。 つまり、 - A. 量化によって命題の領域は無限に拡大する。 - B. 論理定項の操作の適用は有限回に限る。(5.32) この二つをまとめると、有限な論理定項で無限な領域を操作しなければならないということだ。 #### $N(\xi)$の導入によって量化を説明 Wはこれに対し、まず「(-----T)($\xi, \cdots$)」という真理関数を導入する。 これにおける$\xi$は任意個の要素命題の列であり、また(-----T)はその要素命題の列を論理式とみなした場合、これの最後の真理条件をTに固定し、それ以外のすべての真理条件をFにするという操作である。 例えば、$\xi$に$p$と$q$の二つの要素命題の列のとき、$N(p,q)=$(FFFT)($p, q$)となる。 また、$\xi$が無限列だとしても、$N(\xi)$によって諸要素命題の真理条件群を(・・・FFFFT)に固定する操作を行う。 そして、この操作$N(\xi)$を反復適用することによって他の全ての論理定項を表現する(\*3)。 $$ N(\xi)::= \begin{cases} \neg A & \text{if}\ \xi=A\\ \cr \neg A\wedge N(\xi')& \text{if}\ \xi=A,\xi'\\ \cr \end{cases} $$ |fig. 1| |--|--|--|--|--|--|--| |$A\wedge B$|$\leftrightarrow$ |$\neg\neg A\wedge\neg\neg B$|$\leftrightarrow$ |$N(\neg A,\neg B)$|$\leftrightarrow$|$N(N(A) ,N(B) )$| |$A\vee B$|$\leftrightarrow$ |$\neg(\neg A\wedge \neg B)$|$\leftrightarrow$ |$N(\neg A\wedge \neg B)$|$\leftrightarrow$|$ N( N(A, B))$| |$A\to B$|$\leftrightarrow$ |$\neg(\neg \neg A\wedge \neg B)$|$\leftrightarrow$ |$N(\neg\neg A\wedge \neg B)$|$\leftrightarrow$|$N( N( N(A), B))$ この、操作$N(\xi)$は量化で無限にまで拡大した要素命題とそれが生み出す論理空間に対しても適用可能である。 例えば、存在を表す量子記号$(\exists x)F(x)$ (ただし、$x\in \lbrace a,b,c,\cdots\rbrace $)は、直感的に$(F(a)\vee F(b)\vee F(c)\vee \cdots)$と同値である。 そして、「$A \vee B$」は、$N(N(A, B ))$で表現できるので、$(\exists x)F(x)$は、$N(N(F(a), F(b), F(c), \cdots))$と表現できる。 他方、一般量化子$(\forall x)F(x)$は、$(F(a)\wedge F(b)\wedge F(c)\wedge \cdots)$を直感的に意味する。 そして、$(\forall x)F(x)$は、$N(N(F(a)), N(F(b)),N(F(c)), \cdots)$と表現できる(\*4)。 --- ## 注

• \*1. 「$\to $」という論理記号は、「含意」(implication)と呼ばれる。 そして、これは日常言語の「ならば」とかけ離れたものである。 例えば、「地球は平たい、ならば、クジラは魚である」などの条件と結論に関連性がないものであっても真偽判断がなされ、そして、これは真である。これらの関連性に注目し古典論理を拡張した論理を関連論理と呼ぶ。
• \*2. 述語論理は、命題の述語を取り扱い、また、それらの量化(quantification)を可能にすることによって、命題を分析する精度をより正確なものにする論理である。
• \*3. $N(\xi)$は、同じ真理操作を行う(例えば(FFFT)($p, q$))、「$↓$」シェファーストローク(nor)で考えることもできる。 また$p ↓ q $は$ \neg (p ∨ q)$と同値でもある。 この操作の繰り返しで全ての論理定項の操作を表現することができる。 また、「$↑$」シェファーストローク(nand)でも全ての真理関数を表現することができる。
• \*4. 量化を展開したとき現れる「$\cdots$」は、例えば「$fa\wedge fb\wedge fc\cdots$」、論理定項と同様に無限を現す働きをしている。 Wはそれに気づかなかった(cf. [13, p.202][11, p.69])。

用語まとめ - 論理空間logical space：要素命題が得られたならば、それらの可能な事態があきらかとなる。 そして、この自体の総体が論理空間。 - 真理関数truth-functions：フレーゲとラッセルの場合は真偽を入力し真偽を出力する関数である。 Wの場合は単に論理定項をふくんだ複合命題を指す - 論理定項logical constant：論理空間をアプリオリに操作するもの - 基底basis：論理空間において論理操作を行うベース - 真理操作：論理定項による真理領域の操作 - トートロジーtautology：真理領域がすべての真理条件と一致する命題。 真理であるが故に情報をもたない。 $A\to A$など - 矛盾contradiction：真理根拠をもたない命題。 これも無内容な命題。 $A\wedge \neg A$など --- ## 参考文献 最後の項目 「前期ウィトゲンシュタイン「論理哲学論考」#7 語りえぬもの：倫理」 にまとめた。

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